Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Угол ASB пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды SABC равен 2 арк­тан­генс дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби . Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния дробь: чис­ли­тель: 66 умно­жить на ко­си­нус в квад­ра­те бета , зна­ме­на­тель: ко­си­нус в квад­ра­те \varphi конец дроби , где бета   — угол между бо­ко­вым реб­ром SA и плос­ко­стью ос­но­ва­ния ABC, \varphi  — ли­ней­ный угол дву­гран­но­го угла SABC.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть точка O  — центр ос­но­ва­ния, точка M  — се­ре­ди­на ребра AB. Тогда \angle SAO = бета \angle SMO = \varphi. Пусть SM  =  3x, зна­чит:

AM = SM умно­жить на тан­генс левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби \angle ASB пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но AM = 3x умно­жить на дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та x,

сле­до­ва­тель­но,

AO = дробь: чис­ли­тель: AM, зна­ме­на­тель: ко­си­нус 30 гра­ду­сов конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та x, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби ,

OM = дробь: чис­ли­тель: AO, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та x, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке AMS:

AS = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: AM в квад­ра­те плюс SM в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2x в квад­ра­те плюс 9x в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 11 конец ар­гу­мен­та x.

Най­дем зна­че­ние ис­ко­мо­го вы­ра­же­ния:

дробь: чис­ли­тель: 66 умно­жить на ко­си­нус в квад­ра­те бета , зна­ме­на­тель: ко­си­нус в квад­ра­те \varphi конец дроби = 66 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: дробь: чис­ли­тель: AO в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: AS в квад­ра­те конец дроби , зна­ме­на­тель: дробь: чис­ли­тель: OM в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: SM в квад­ра­те конец дроби конец дроби = 66 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: AO в квад­ра­те умно­жить на SM в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: AS в квад­ра­те умно­жить на OM в квад­ра­те конец дроби = 66 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби x в квад­ра­те умно­жить на 9x в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 11x в квад­ра­те умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби x в квад­ра­те конец дроби =
= 66 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 24, зна­ме­на­тель: дробь: чис­ли­тель: 22, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби конец дроби = 66 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 72, зна­ме­на­тель: 22 конец дроби = 66 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 36, зна­ме­на­тель: 11 конец дроби = 6 умно­жить на 36 = 216.

Ответ: 216.


Аналоги к заданию № 2314: 2346 Все

Источник: Цен­тра­ли­зо­ван­ный эк­за­мен. Ма­те­ма­ти­ка: пол­ный сбор­ник те­стов, 2024 год. Ва­ри­ант 7
Спрятать решение · Прототип задания · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025